Интересные доказательства теорем

Теорема Пифагора устанавливает соотношения между сторонами прямоугольного треугольника. Её формула:

Есть несколько разных доказательств теоремы, но приведу два своих любимых.

Если начертить треугольник, где катеты и гипотенуза являются сторонами разных квадратов, сумма площадей красных квадратов (стороны их равны катетам) будет такой же, как площадь синего квадрата (где сторона — гипотенуза):

Такое доказательство теоремы Пифагора называется доказательством Евклида или, шуточно, Пифагоровыми штанами.

Пифагоровы штаны

На все стороны равны,

Число пуговиц известно

Почему в штанах так тесно?

Потому что хер велик —

Отвечает ученик.

a, b и c называются Пифагоровыми числами, а кортеж из них — Пифагоровой тройкой.

Можно доказать теорему через равнодополняемость. Для этого нужно начертить четыре прямоугольных треугольника так, чтобы они образовали квадрат:

Древние египтяне именно так и делали, натягивая веревку, чтобы измерить поле. В таком случае площадь центрального квадрата равна квадрату разности катетов, а площадь треугольника — половине произведения катетов. Тогда сторона большого квадрата (гипотенуза) будет равна корню от суммы этих двух площадей. Путем простейших преобразований можно легко выяснить, чему равен квадрат гипотенузы.