Некоторые методы решения логарифмических уравнений

1. Уравнения, решаемые методом логарифмирования

При решении уравнений, содержащих переменную и в основании и в показателе степени, используют метод логарифмирования. Если, при этом, в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо логарифмировать по основанию этого логарифма.

Пример 1.

Решить уравнение: х^log2^х+2 = 8.

Решение.

Прологарифмируем левую и правую части уравнения по основанию 2. Получим

log₂ (х^log2^х+2) =  log₂ 8,                  

(log₂ х + 2) · log₂ х = 3. 

Пусть log₂ х = t.

Тогда (t + 2)t = 3. 

t² + 2t – 3 = 0.

D = 16. t₁ = 1; t₂ = -3.

Значит log₂ х = 1 и х₁ = 2 или log₂ х = -3 и х₂ =1/8

Ответ: 1/8; 2.

2.  Однородные логарифмические уравнения.

Пример 2.

Решить уравнение log²₃ (х² – 3х + 4) – 3log₃ (х + 5) log₃ (х² – 3х + 4) – 2log²₃ (х + 5) = 0

Решение.

Задачка для Неймана

Как-то раз знаменитому американскому математику Джону фон Нейману задали каверзную задачку:

«Из пунктов А и В, отстоящих друг от друга на 100 км, одновременно выходят навстречу друг другу два поезда со скоростью 50 км/ч. Как только они трогаются, пчела, устроившаяся на головной фаре поезда в пункте А, испуганно взлетает и устремляется вперёд, вдоль железнодорожного полотна со скоростью 90 км/ч. Наткнувшись на поезд, идущий из пункта В, она круто поворачивает и летит обратно с той же скоростью. Так и металась она между двумя поездами, пока они не встретились.  Спрашивается, какова длина пути, преодолённого пчелой». Нейман мгновенно решил эту задачку, просуммировав в уме бесконечную последовательность пчелиных пробегов.

А мы попробуем найти менее трудоёмкий путь решения этой задачки.

Но сначала краткая историческая справка об этом учёном: Джон фон Нейман (1903-1957) работал над вопросами функционального анализа и использованием его в классической и квантовой механике. Нейману принадлежат также исследования по теории топологических групп, по математической логике.  В последние годы жизни он занимался теорией игр, теорией автоматов. Нейман известен как учёный, участвовавший в  создании первых ЭВМ, считается одним из разработчиков методов применения ЭВМ.

Итак, находим простое решение задачи. Но для начала выполним чертёж.

Итак, пчела «металась  между двумя поездами, пока они не встретились».

Цитата дня

"Математику только затем учить надо,что она ум в порядок приводит".

М.В.Ломоносов.

Быстрый устный счет

Поражали ли тебя когда-нибудь люди, которые с легкостью складывают и умножают в уме трехзначные числа или мгновенно называют корень из 729?

На самом деле это не так сложно как кажется, просто здесь как и в любом мастерстве нужны знание техники и регулярные тренировки. Ну что же, тренировки зависят только от тебя, а технику мы сейчас разберем.

Начнем со сложения двузначных чисел.

Пусть нам необходимо вычислить 37 + 85 + 29 + 42. Для этого сначала сложим все десятки: 3 + 8 + 2 + 4. Заметим, что 8 + 2 = 10, 3 + 4 = 7, вместе 17. Запомнили. Теперь складываем единицы: 7 + 5 + 9 + 2 = 23.

17 десятков – это 170. 170 + 23 = 193. Как видим, это быстрее, чем складывать 37 и 85, потом добавлять 29 и т.д.

Кстати, точно так же можно делать, если мы складываем трехзначные числа.

Например: 228 + 39 + 485 + 91.

Складываем десятки: 

22 + 3 + 48 + 9 = (22 + 48) + (3 + 9) = 70 + 12 = 82.

Теперь складываем единицы: 

8 + 9 + 5 + 1 = (8 + 5) + (9 + 1) = 13 + 10 = 23.

(Если два числа в сумме дают десять, их всегда удобно сложить первыми).

Ну и теперь 82 десятка, т.е. 820 плюс 23 будет 843.

Теперь перейдем к более интересной теме – умножению двухзначных чисел. Тут мы тоже будем поступать необычно. Прием который мы сейчас рассмотрим называется умножение «крестиком» или индусский способ умножения.

Цитата дня

"Цифры (числа) не управляют миром, но они показывают, как управляется мир."

И.Гете

Цитата дня

"Чтобы о тебе не думали, делай то, что считаешь справедливым."

Пифагор

Интересные доказательства теорем

Теорема Пифагора устанавливает соотношения между сторонами прямоугольного треугольника. Её формула:

Есть несколько разных доказательств теоремы, но приведу два своих любимых.

Если начертить треугольник, где катеты и гипотенуза являются сторонами разных квадратов, сумма площадей красных квадратов (стороны их равны катетам) будет такой же, как площадь синего квадрата (где сторона — гипотенуза):

Такое доказательство теоремы Пифагора называется доказательством Евклида или, шуточно, Пифагоровыми штанами.

Пифагоровы штаны

На все стороны равны,

Число пуговиц известно

Почему в штанах так тесно?

Потому что хер велик —

Отвечает ученик.

Золотое сечение Божественная мера красоты 1/4

Золотое сечение Божественная мера красоты 2/4

Золотое сечение Божественная мера красоты 3/4

Золотое сечение Божественная мера красоты 4/4

Палочки Непера (Napier’s bones)

В 1617 году шотландский ученый Джон Непер создал свой деревянный калькулятор из 11 палочек, получивший название «Палочки Непера». В основу этого устройства лег принцип умножения решеткой, широко распространенный в XVII веке.

Умножение

MoMath: музей математики на Манхэттене

Основатели музея математики MoMath решили бороться с распространённым мнением о том, что предмет скучен, тяжел и страшен. В музее находятся экспонаты, которые выражают простоту и радость изучения мира чисел и форм.

«Мы хотим показать другую сторону математики», говорит соучредитель музея Синди Лоуренс. «Наша цель — заинтересовать детей, рассказать им, что математика, которую они проходят в школе, является лишь одним деревом в целом огромном лесу».

Математика пронизывает каждый аспект дизайна музея и иногда проявляется в самых неожиданных местах. Например, Загадочное кафе музея (Enigma Café). На первый взгляд, оно выглядит как любое другое модное и современное кафе Манхэттена. Но вместо кофе, вам подадут пазлы. На полу можно увидеть сетку 6х6, а на стенах — тетрис, столы расставлены в виде хода конем на шахматной доске.

«Мы стараемся использовать математику повсюду», говорит Лоуренс.

Song from π!

Цитата дня

"Mathematics is the alphabet with which god has written the world."

Galileo Galilei

Лист Мёбиуса

Лист Мёбиуса (ле́нта Мёбиуса, петля́ Мёбиуса) — топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя при вложении в обычное трёхмерное Евклидово пространство. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края.

Лента Мёбиуса была открыта независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году. Модель ленты Мёбиуса может легко быть сделана: для этого надо взять достаточно вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. В Евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые (топологически они, однако, неразличимы).

Цитата

Если Вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, так решайте их!