Некоторые методы решения логарифмических уравнений

1. Уравнения, решаемые методом логарифмирования

При решении уравнений, содержащих переменную и в основании и в показателе степени, используют метод логарифмирования. Если, при этом, в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо логарифмировать по основанию этого логарифма.

Пример 1.

Решить уравнение: х^log2^х+2 = 8.

Решение.

Прологарифмируем левую и правую части уравнения по основанию 2. Получим

log₂ (х^log2^х+2) =  log₂ 8,                  

(log₂ х + 2) · log₂ х = 3. 

Пусть log₂ х = t.

Тогда (t + 2)t = 3. 

t² + 2t – 3 = 0.

D = 16. t₁ = 1; t₂ = -3.

Значит log₂ х = 1 и х₁ = 2 или log₂ х = -3 и х₂ =1/8

Ответ: 1/8; 2.

2.  Однородные логарифмические уравнения.

Пример 2.

Решить уравнение log²₃ (х² – 3х + 4) – 3log₃ (х + 5) log₃ (х² – 3х + 4) – 2log²₃ (х + 5) = 0

Решение.

Область определения уравнения

{х² – 3х + 4 > 0,
{х + 5 > 0. → х > -5.

log₃ (х + 5) = 0 при х = -4. Проверкой определяем, что данное значение х не является корнем первоначального уравнения. Следовательно можно разделить обе части уравнения на log² ₃ (х + 5).

Получим log²₃ (х² – 3х + 4) / log²₃ (х + 5) – 3 log₃ (х² – 3х + 4) / log₃ (х + 5) + 2 = 0.

Пусть log₃ (х² – 3х + 4) / log₃ (х + 5) = t. Тогда t ²– 3 t + 2 = 0. Корни данного уравнения 1; 2. Возвратившись к первоначальной переменной , получим совокупность двух уравнений

[log₃ (х² – 3х + 4) / log₃ (х + 5) = 1

[log₃ (х² – 3х + 4) / log₃ (х + 5) = 2. Отсюда

[log₃ (х² – 3х + 4) = log₃ (х + 5),

[log₃ (х² – 3х + 4) = 2log₃ (х + 5).

Выполнив потенцирование, получим

 [х² – 3х + 4 = х + 5,

 [х² – 3х + 4 = (х + 5)² ;

 [х² – 4х – 1 = 0,

 [-13х = 21.

 [х = 2 – √5,

 [х = 2 + √5, [х = -21/13. Все корни входят в область определения.

Ответ: ,-21/13; 2 – √5; 2 + √5.

3. Уравнения, содержащие переменную и в основании логарифма и в выражении, стоящем под знаком логарифма

Пример 3.

Найдите среднее арифметическое корней уравнения log_3х+7 (9 + 12х + 4х²) + log_2х+3 (6х² + 23х + 21) = 4.

Решение.

9 + 12х + 4х² = (2х + 3)²;  6х² + 23х + 21 = (2х + 3)(3х + 7).

Область определения уравнения

{2х + 3 > 0,
{2х + 3 ≠ 1,

{3х + 7 > 0,
{3х + 7 ≠ 1.

Следовательно х > -1,5 и х ≠ -1

Тогда log_3х+7 (2х + 3)² + log_2х+3 (2х + 3)(3х + 7) = 4;

2log_3х+7 (2х + 3) + log_2х+3 (2х + 3)+ log_2х+3 (3х + 7) = 4;

2log_3х+7 (2х + 3) + 1 + log_2х+3 (3х + 7) = 4;

2log_3х+7 (2х + 3) + 1/log_3х+7 (2х + 3) = 3;

Введём новую переменную log_3х+7 (2х + 3) = t. Получим 2t + 1/t = 3. 2t² – 3t + 1 = 0. Корни уравнения 1/2; 1.

Возвращаемся к исходной переменной.

Получаем log_3х+7 (2х + 3) = 1/2  или log _3х+7 (2х + 3) = 1

2х + 3 = (3х + 7)^1/2;                    

(2х + 3)² = 3х + 7;

4х² + 9х + 2 = 0.

Корни уравнения -2; -0,25.

log_3х+7 (2х+3) = 1.

2х + 3 = 3х + 7.

Х = -4.

В область определения уравнения входит только число -0,25.

Среднее арифметическое -0,25,

Ответ: -0,25.

4. Уравнения, требующие использования свойств логарифмических функций (т.е. решаемые функциональным методом).

Пример 4. Какой наибольший корень в уравнении log₃ (8 + 2х – х²) = 2^х-1 + 2^1-х

Решение.

Рассмотрим функцию у = 8 + 2х – х². Её график – парабола, ветви которой направлены вниз. Координаты вершины (1; 9). Область значений функции (-∞; 9]. Но с учётом существования логарифма нужно рассматривать лишь значения (0; 9]. Значит выражение в левой части принимает наибольшее значение 2 при х = 1. Рассмотрим теперь функцию у = 2^х-1 + 2^1-х . Если принять t = 2^x-1,, то она примет вид у = t + 1/t, где t > 0. При таких условиях она имеет единственную критическую точку t = 1. Это точка минимума. У_vin = 2. И достигается он при х = 1.

Теперь очевидно, что графики рассматриваемых функций могут пересекаться лишь один раз в точке (1; 2). Получается, что х = 1 единственный корень решаемого уравнения.

Ответ: х = 1.

Пример 5. Решить уравнение log²₂ х + (х – 1) log₂ х = 6 – 2х

Решение.

Решим данное уравнение относительно log₂ х. Пусть log₂ х = t. Тогда t² + (х – 1) t – 6 + 2х = 0.

D = (х – 1)² – 4(2х – 6) = (х – 5)². t₁ = -2; t₂ = 3 – х.

Получим уравнение log₂ х = -2 или log₂ х = 3 – х.

Корень первого уравнения х₁ = 1/4.

Корень уравнения log₂ х = 3 – х найдём подбором. Это число 2. Этот корень единственный, так как функция у = log₂ х возрастающая на всей области определения, а функция у = 3 – х – убывающая.

Проверкой легко убедится в том, что оба числа являются корнями уравнения

Ответ:1/4; 2.