Некоторые методы решения логарифмических уравнений

1. Уравнения, решаемые методом логарифмирования

При решении уравнений, содержащих переменную и в основании и в показателе степени, используют метод логарифмирования. Если, при этом, в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо логарифмировать по основанию этого логарифма.

Пример 1.

Решить уравнение: х^log2^х+2 = 8.

Решение.

Прологарифмируем левую и правую части уравнения по основанию 2. Получим

log₂ (х^log2^х+2) =  log₂ 8,                  

(log₂ х + 2) · log₂ х = 3. 

Пусть log₂ х = t.

Тогда (t + 2)t = 3. 

t² + 2t – 3 = 0.

D = 16. t₁ = 1; t₂ = -3.

Значит log₂ х = 1 и х₁ = 2 или log₂ х = -3 и х₂ =1/8

Ответ: 1/8; 2.

2.  Однородные логарифмические уравнения.

Пример 2.

Решить уравнение log²₃ (х² – 3х + 4) – 3log₃ (х + 5) log₃ (х² – 3х + 4) – 2log²₃ (х + 5) = 0

Решение.

Задачка для Неймана

Как-то раз знаменитому американскому математику Джону фон Нейману задали каверзную задачку:

«Из пунктов А и В, отстоящих друг от друга на 100 км, одновременно выходят навстречу друг другу два поезда со скоростью 50 км/ч. Как только они трогаются, пчела, устроившаяся на головной фаре поезда в пункте А, испуганно взлетает и устремляется вперёд, вдоль железнодорожного полотна со скоростью 90 км/ч. Наткнувшись на поезд, идущий из пункта В, она круто поворачивает и летит обратно с той же скоростью. Так и металась она между двумя поездами, пока они не встретились.  Спрашивается, какова длина пути, преодолённого пчелой». Нейман мгновенно решил эту задачку, просуммировав в уме бесконечную последовательность пчелиных пробегов.

А мы попробуем найти менее трудоёмкий путь решения этой задачки.

Но сначала краткая историческая справка об этом учёном: Джон фон Нейман (1903-1957) работал над вопросами функционального анализа и использованием его в классической и квантовой механике. Нейману принадлежат также исследования по теории топологических групп, по математической логике.  В последние годы жизни он занимался теорией игр, теорией автоматов. Нейман известен как учёный, участвовавший в  создании первых ЭВМ, считается одним из разработчиков методов применения ЭВМ.

Итак, находим простое решение задачи. Но для начала выполним чертёж.

Итак, пчела «металась  между двумя поездами, пока они не встретились».

Цитата дня

"Математику только затем учить надо,что она ум в порядок приводит".

М.В.Ломоносов.

Быстрый устный счет

Поражали ли тебя когда-нибудь люди, которые с легкостью складывают и умножают в уме трехзначные числа или мгновенно называют корень из 729?

На самом деле это не так сложно как кажется, просто здесь как и в любом мастерстве нужны знание техники и регулярные тренировки. Ну что же, тренировки зависят только от тебя, а технику мы сейчас разберем.

Начнем со сложения двузначных чисел.

Пусть нам необходимо вычислить 37 + 85 + 29 + 42. Для этого сначала сложим все десятки: 3 + 8 + 2 + 4. Заметим, что 8 + 2 = 10, 3 + 4 = 7, вместе 17. Запомнили. Теперь складываем единицы: 7 + 5 + 9 + 2 = 23.

17 десятков – это 170. 170 + 23 = 193. Как видим, это быстрее, чем складывать 37 и 85, потом добавлять 29 и т.д.

Кстати, точно так же можно делать, если мы складываем трехзначные числа.

Например: 228 + 39 + 485 + 91.

Складываем десятки: 

22 + 3 + 48 + 9 = (22 + 48) + (3 + 9) = 70 + 12 = 82.

Теперь складываем единицы: 

8 + 9 + 5 + 1 = (8 + 5) + (9 + 1) = 13 + 10 = 23.

(Если два числа в сумме дают десять, их всегда удобно сложить первыми).

Ну и теперь 82 десятка, т.е. 820 плюс 23 будет 843.

Теперь перейдем к более интересной теме – умножению двухзначных чисел. Тут мы тоже будем поступать необычно. Прием который мы сейчас рассмотрим называется умножение «крестиком» или индусский способ умножения.

Цитата дня

"Цифры (числа) не управляют миром, но они показывают, как управляется мир."

И.Гете

Цитата дня

"Чтобы о тебе не думали, делай то, что считаешь справедливым."

Пифагор

Интересные доказательства теорем

Теорема Пифагора устанавливает соотношения между сторонами прямоугольного треугольника. Её формула:

Есть несколько разных доказательств теоремы, но приведу два своих любимых.

Если начертить треугольник, где катеты и гипотенуза являются сторонами разных квадратов, сумма площадей красных квадратов (стороны их равны катетам) будет такой же, как площадь синего квадрата (где сторона — гипотенуза):

Такое доказательство теоремы Пифагора называется доказательством Евклида или, шуточно, Пифагоровыми штанами.

Пифагоровы штаны

На все стороны равны,

Число пуговиц известно

Почему в штанах так тесно?

Потому что хер велик —

Отвечает ученик.