Магические квадраты.

2	9	4
7	5	3
6	1	8

Возникновение магических квадратов относится к глубокой древности. Наиболее ранние сведения о них содержатся, по-видимому, в китайских книгах, написанных в IV — V вв. до н. э.Из дошедших до нас древних магических квадратов самым «старым» является таблица Ло-шу (2200 до н. э.).

Определение. Магические квадраты — квадратные (т.е. с одинаковым количеством столбцов и строк) таблицы натуральных чисел, имеющие одинаковые суммы чисел по всем строкам, столбцам и двум диагоналям. Магические квадраты свое название магических или волшебных получили от арабов, которые усматривали в подобных сочетаниях чисел нечто чудесное, мистическое и смотрели на них как на талисманы.

Таблица Ло-шу состоит из 9 клеток: 3 строк и 3 столбцов, заполненных натуральными числами от 1 до 9. В этом магическом квадрате суммы чисел по всем строкам, столбцам и двум диагоналям равны одному и тому же числу 15.

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

Следующие по времени сведения о магических квадратах дошли до нас из Индии и Византии.

В Европе изображение магических квадратов впервые встречается на гравюре«Меланхолия» немецкого художника Альбрехта Дюрера (1514). Этот магический квадрат состоит из 16 клеток: 4 строк и 4 столбцов, заполненных натуральными числами от 1 до 16. В нем сумма чисел по каждой строке, каждому столбцу и двум диагоналям равна 34. Средние числа в нижней строке (15 и 14) означают дату 1514 — год издания этой гравюры А. Дюрера.

Этот магический квадрат замечателен еще и другими интересными свойствами: в нем одному и тому же числу (34) равна сумма не только чисел, стоящих в строках, столбцах и двух диагоналях, но и суммы чисел, стоящих в квадратах из четырех клеток, расположенных по углам и в середине, а также сумма чисел, стоящих в вершинах этого квадрата. Такие квадраты, в отличие от обычных магических квадратов, следовало бы называть как-нибудь иначе, например волшебными, сверхмагическими и т. п.

Способами составления магических квадратов занимались многие математики: в XVI в. А. Ризе и М. Штифель, в XVII в. А.Кирхер и Баше де Мезериак. Теорией магических квадратов занимался французский математик Делаир.

Для составления магических квадратов с нечетным числом клеток имеется очень простой общий способ. Для составления же магических квадратов с четным числом клеток все имеющиеся способы значительно сложнее.

Легко видеть, что из любого магического квадрата можно получить бесконечное множество других магических квадратов путем умножения всех его чисел на одинаковый множитель или прибавления к ним одного и того же слагаемого.

Приведем еще два магических квадрата, состоящие из 16 и 9 клеток и заполненные натуральными (не подряд) числами. Суммы одного из них по строкам, столбцам и диагоналям равны 77, а другого — 105.

26	23	56
65	35	5
14	47	44

36	13	22	6
3	25	10	39
4	27	15	31
34	12	30	1

Эти два квадрата представляют особенный интерес как в смысле трудности их составления, так и в смысле законов распределения простых чисел, а именно: если все числа этих магических квадратов умножить на 10, а затем ко всем числам большего из них прибавить 7, а ко всем числам меньшего прибавить 9, то получатся снова магические квадрати, заполненные только одними простыми числами, и притом различными (не повторяющимися).